The Elements of Quantitative Investing

Introduction xvii Prerequisites : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : xxi Organization : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : xxii Acknowledgments xxv 1 The Map and the Territory 5 1.1 The Securities : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 1.2 Modes of Exchange : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 1.3 Who Are the Market Participants? : : : : : : : : : : : : : : : : : 11 1.3.1 The Sell Side : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11 1.3.2 The Buy Side : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 15 1.4 Where Do Excess Returns Come From? : : : : : : : : : : : : : : 19 1.5 The Elements of Quantitative Investing : : : : : : : : : : : : : : 24 2 Univariate Returns 29 2.1 Returns : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 30 2.1.1 Definitions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 30 2.1.2 Excess Returns : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 32 2.1.3 Log Returns : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 33 2.1.4 Estimating Prices and Returns : : : : : : : : : : : : : 34 2.1.5 Stylized Facts : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 37 2.2 Conditional Heteroscedastic Models (CHM) : : : : : : : : : : : 42 2.2.1 GARCH(1, 1) and Return Stylized Facts : : : : : : : 44 2.2.2 GARCH as Random Recursive Equations : : : : : : : 47 2.2.3 ?GARCH(1, 1) Estimation : : : : : : : : : : : : : : : 49 2.2.4 Realized Volatility : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 50 2.3 State-Space Estimation of Variance : : : : : : : : : : : : : : : : 55 2.3.1 Muth's Original Model: EWMA : : : : : : : : : : : : 55 2.3.2 ?The Harvey-Shephard Model : : : : : : : : : : : : : 60 2.4 ?Appendix : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 62 2.4.1 The Kalman Filter : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 62 2.4.2 Kalman Filter Examples : : : : : : : : : : : : : : : : 66 2.5 Exercises : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 70 3 Interlude: What is Performance? 73 3.1 Expected Return : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 74 3.2 Volatility : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 74 3.3 Sharpe Ratio : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 76 3.4 Capacity : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 78 4 Linear Models of Returns 83 4.1 Factor Models : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 84 4.2 Interpretations of Factor Models : : : : : : : : : : : : : : : : : : 87 4.2.1 Graphical Model : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 88 4.2.2 Superposition of E_ects : : : : : : : : : : : : : : : : : 89 4.2.3 Single-Asset Product : : : : : : : : : : : : : : : : : : 90 4.3 Alpha Spanned and Alpha Orthogonal : : : : : : : : : : : : : : : 91 4.4 Transformations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 95 4.4.1 Rotations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 95 4.4.2 Projections : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 98 4.4.3 Push-Outs : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 99 4.5 Applications : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 101 4.5.1 Performance Attribution : : : : : : : : : : : : : : : : 101 4.5.2 Risk Management: Forecast and Decomposition : : 102 4.5.3 Portfolio Management : : : : : : : : : : : : : : : : : 105 4.5.4 Alpha Research : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 107 4.6 Factor Models Types : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 108 4.7 ?Appendix : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 109 4.7.1 Linear Regression : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 109 4.7.2 Linear Regression Decomposition : : : : : : : : : : : 116 4.7.3 The Frisch-Waugh-Lovell Theorem : : : : : : : : : : 116 4.7.4 The Singular Value Decomposition : : : : : : : : : : 120 4.8 Exercises : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 123 5 Evaluating Risk 127 5.1 Evaluating the Covariance Matrix : : : : : : : : : : : : : : : : : : 128 5.1.1 Robust Loss Functions for Volatility Estimation : : : 128 5.1.2 Application to Multivariate Returns : : : : : : : : : : 130 5.2 Evaluating the Precision Matrix : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 134 5.2.1 Minimum-Variance Portfolios : : : : : : : : : : : : : 134 5.2.2 Mahalanobis Distance : : : : : : : : : : : : : : : : : : 135 5.3 Ancillary Tests : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 137 5.3.1 Model Turnover : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 138 5.3.2 Testing Betas : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 139 5.3.3 Coefficient of Determination? : : : : : : : : : : : : : 140 5.4 ?Appendix : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 143 5.4.1 Proof for Minimum-Variance Portfolios : : : : : : : : 143 6 Fundamental Factor Models 147 6.1 The Inputs and the Process : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 148 6.1.1 The Inputs : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 148 6.1.2 The Process : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 152 6.2 Cross-Sectional Regression : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 153 6.2.1 Rank-Deficient Loadings Matrices : : : : : : : : : : : 158 6.3 Estimating The Factor Covariance Matrix : : : : : : : : : : : : : 160 6.3.1 Factor Covariance Matrix Shrinkage : : : : : : : : : 161 6.3.2 Dynamic Conditional Correlation : : : : : : : : : : : 162 6.3.3 Short-Term Volatility Updating : : : : : : : : : : : : 163 6.3.4 Correcting for Autocorrelation in Factor Returns : : 166 6.4 Estimating the Idiosyncratic Covariance Matrix : : : : : : : : : : 167 6.4.1 Exponential Weighting : : : : : : : : : : : : : : : : : 167 6.4.2 Visual Inspection : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 167 6.4.3 Short-Term Idio Update : : : : : : : : : : : : : : : : 168 6.4.4 O_-Diagonal Clustering : : : : : : : : : : : : : : : : : 169 6.4.5 Idiosyncratic Covariance Matrix Shrinkage : : : : : : 173 6.5 Winsorization of Returns : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 174 6.6 ?Advanced Model Topics : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 176 6.6.1 Linking Models : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 176 6.6.2 Currency Rebasing : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 184 6.7 A Tour of Factors : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 188 7 Statistical Factor Models 195 7.1 Statistical Models: The Basics : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 197 7.1.1 Best Low-Rank Approximation and PCA : : : : : : : 197 7.1.2 Maximum Likelihood Estimation and PCA : : : : : : 202 7.1.3 Cross-Sectional and Time-Series Regressions via SVD 205 7.2 Beyond the Basics : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 207 7.2.1 The Spiked Covariance Model : : : : : : : : : : : : : 208 7.2.2 Spectral Limit Behavior of the Spiked Covariance Model : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 210 7.2.3 Optimal Shrinkage of Eigenvalues : : : : : : : : : : : 213 7.2.4 Eigenvalues: Experiments vs. Theory : : : : : : : : : 216 7.2.5 Choosing the Number of Factors : : : : : : : : : : : 218 7.3 Real-Life Stylized Behavior of PCA : : : : : : : : : : : : : : : : : 220 7.3.1 Concentration of Eigenvalues : : : : : : : : : : : : : 221 7.3.2 Controlling the Turnover of Eigenvectors : : : : : : : 223 7.4 Interpreting Principal Components : : : : : : : : : : : : : : : : : 230 7.4.1 The Clustering View : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 230 7.4.2 The Regression View : : : : : : : : : : : : : : : : : : 232 7.5 Statistical Model Estimation in Practice : : : : : : : : : : : : : : 234 7.5.1 Weighted and Two-Stage PCA : : : : : : : : : : : : 234 7.5.2 Implementing Statistical Models in Production : : : 238 7.6 ?Appendix : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 241 7.6.1 Exercises and Extensions to PCA : : : : : : : : : : : 241 7.6.2 Asymptotic Properties of PCA : : : : : : : : : : : : : 246 8 Evaluating Excess Returns 249 8.1 Backtesting Best Practices : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 251 8.1.1 Data Sourcing : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 251 8.1.2 Research Process : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 253 8.2 The Backtesting Protocol : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 259 8.2.1 Cross-Validation and Walk-Forward : : : : : : : : : : 259 8.3 The Rademacher Anti-Serum (RAS) : : : : : : : : : : : : : : : : 265 8.3.1 Setup : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 265 8.3.2 Main result and Interpretation : : : : : : : : : : : : : 269 8.4 Some Empirical Results : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 275 8.4.1 Simulations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 275 8.4.2 Historical Anomalies : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 279 8.5 ?Appendix : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 282 8.5.1 Proofs for RAS : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 282 9 Portfolio Management: The Basics 289 9.1 Why Mean-Variance Optimization? : : : : : : : : : : : : : : : : : 290 9.2 Mean-Variance Optimal Portfolios : : : : : : : : : : : : : : : : : 293 9.3 Trading in Factor Space : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 301 9.3.1 Factor-Mimicking Portfolios : : : : : : : : : : : : : : 301 9.3.2 Adding, Estimating, and Trading a New Factor : : : 304 9.3.3 Factor Portfolios from Sorts? : : : : : : : : : : : : : 308 9.4 Trading in Idio Space : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 310 9.5 Drivers of Information Ratio: Information Coefficient and Diversification : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 311 9.6 Aggregation: Signals vs. Portfolios : : : : : : : : : : : : : : : : : 315 9.7 ?Appendix : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 320 9.7.1 Some Useful Results from Linear Algebra : : : : : : 320 9.7.2 Some Portfolio Optimization Problems : : : : : : : : 320 9.7.3 Optimality of FMPs : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 321 9.7.4 Single-Factor Covariance Matrix Updating : : : : : : 324 10 Beyond Simple Mean-Variance 327 10.1 Shortcomings of Naive MVO : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 328 10.2 Constraints and Modified Objectives : : : : : : : : : : : : : : : : 335 10.2.1 Types of Constraints : : : : : : : : : : : : : : : : : : 336 10.2.2 Do Constraints Improve or Worsen Performance? : : 341 10.2.3 Constraints as Penalties : : : : : : : : : : : : : : : : 342 10.3 How Does Estimation Error Affect the Sharpe Ratio? : : : : : : 349 10.3.1 The Impact of Alpha Error : : : : : : : : : : : : : : : 351 10.3.2 The Impact of Risk Error : : : : : : : : : : : : : : : : 352 10.4 ?Appendix : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 354 10.4.1 Theorems on Sharpe Efficiency Loss : : : : : : : : : 354 11 Market-Impact-Aware Portfolio Management 361 11.1 Market Impact : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 362 11.1.1 Temporary Market Impact : : : : : : : : : : : : : : : 364 11.2 Finite-Horizon Optimization : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 372 11.3 Infinite-Horizon Optimization : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 376 11.3.1 Comparison to Single-Period Optimization : : : : : : 379 11.3.2 The No-Market-Impact Limit : : : : : : : : : : : : : 380 11.3.3 Optimal Liquidation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 381 11.3.4 Deterministic Alpha : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 381 11.3.5 AR(1) Signal : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 382 11.4 ?Appendix : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 384 11.4.1 Proof of the Infinite-Horizon Quadratic Problem : : 384 12 Hedging 389 12.1 Toy Story : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 390 12.2 Factor Hedging : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 393 12.2.1 The General Case : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 393 12.3 Hedging Tradable Factors with Time-Series Betas : : : : : : : : 397 12.4 Factor-Mimicking Portfolios of Time Series : : : : : : : : : : : : 402 12.5 ?Appendix : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 404 13 Dynamic Risk Allocation 407 13.1 The Kelly Criterion : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 409 13.2 Mathematical Properties : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 419 13.3 The Fractional Kelly Strategy : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 421 13.4 Fractional Kelly and Drawdown Control : : : : : : : : : : : : : : 427 14 Ex Post Performance Attribution 433 14.1 Performance Attribution: The Basics : : : : : : : : : : : : : : : : 435 14.2 Performance Attribution with Errors : : : : : : : : : : : : : : : : 437 14.2.1 Two Paradoxes : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 437 14.2.2 Estimating Attribution Errors : : : : : : : : : : : : : 439 14.2.3 Paradox Resolution : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 440 14.3 Maximal Performance Attribution : : : : : : : : : : : : : : : : : 442 14.4 Selection vs. Sizing Attribution : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 451 14.4.1 Connection to the Fundamental Law of Active Management 14.4.2 Long-Short Performance Attribution : : : : : : : : : 456 14.5 Appendix? : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 458 14.5.1 Proof of the Selection vs. Sizing Decomposition : : 458 15 A Coda about Leitmotifs 465 About the Author Index 495